给出一段长度为n的序列\(\{a_i\}\)，求其中长度为m的严格上升子序列个数\(mod\ 10^9+7\),\(n\leq 10^3\)。
解
不难想到设\(f[i][j]\)表示以第i个位置结尾，长度为j的LSIS，因此我们有
\[f[i][j]=\sum_{k=1,a_i>a_k}^{i-1}f[k][j-1]\]
边界：\(f[i][1]=1,i=1,2,...,n\)，其余为0
答案：\(\sum_{i=1}^nf[i][m]\)
注意到这是\(O(n^3)\)算法，优先考虑转移优化，问题实际上是要寻找前面\(a_k\)小于\(a_i\)的f前缀和，考虑给a排序，也就是给a离散化，在离散化的数组里面建立前缀和数据结构（如线段树，树状数组），每次在对应的位置上查询修改前缀和，于是可以优化为\(O(n^2log^n)\)
参考代码：
#include#include #include #include #define il inline#define ri register#define yyb 1000000007using namespace std;struct Map{ int a[1001],b[1001],n; il void prepare(int m,int ar[]){ n=m; for(ri int i(1);i<=n;++i) a[i]=ar[i];sort(a+1,a+n+1); for(ri int i(1);i<=n;++i)b[i]=dfs(ar[i]); } il int look(int x){ return b[x]; } il int dfs(int x){ int l(1),mid,r(n); while(l<=r){ mid=l+r>>1; if(x>a[mid])l=mid+1; else r=mid-1; }return l; }}L;struct lowbit{ int n,a[1001]; il void prepare(int m){ n=m,memset(a,0,sizeof(a)); } il void change(int p,int v){ while(p<=n)(a[p]+=v)%=yyb,p+=-p&p; } il int ask(int p){ int ans(0); while(p)(ans+=a[p])%=yyb,p-=-p&p;return ans; }}ar;int a[1001],dp[1001][1001];il void read(int&),work();int main(){ int lsy,i;read(lsy); for(i=1;i<=lsy;++i)printf("Case #%d: ",i),work(); return 0;}il void work(){ int n,m;read(n),read(m); for(int i(1);i<=n;++i)read(a[i]); L.prepare(n,a),memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i(1);i<=n;++i)dp[i][1]=1; for(int i,j(2);j<=m;++j){ ar.prepare(n); for(i=1;i<=n;++i) dp[i][j]=ar.ask(L.look(i)-1), ar.change(L.look(i),dp[i][j-1]); }int ans(0); for(int i(1);i<=n;++i)(ans+=dp[i][m])%=yyb; printf("%d\n",ans);}il void read(int &x){ x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9'); while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();}